För vilka värden gäller

Oxen skrev:

Låt f(x) = x³/x²-1

Det du har skrivit betyder , dvs .

Om du istället menar så måste du skriva parenteser runt nämnaren, så här: x³/(x²-1).

b) För vilka värden på x är f(x)>0?

Jag tänker att eftersom f(x)>0, kan x³ inte vara lika med noll. Då borde x vara större än noll och -1 eftersom dessa värden blir mindre eller lika med noll i x³.

Det stämmer att x inte kan vara lika med 0, men x måste inte vara större än 0 bara för det.

Det stämmer att x måste vara större än

Ett bra sätt att lösa olikheten är följande:

• En kvot har ett positivt värde om både täljare och nämnare har samma tecken (dvs båda är positiva eller båda är negativa).
• En kvot har ett negativt värde om täljare och nämnare har olika tecken (dvs en är positiv och en är negativ).

Du ska alltså leta efter de värden på x för vilka både täljare och nämnare har samma tecken.

Ett effektivt sätt att göra det är att göra en teckentabell, med en rad vardera för x, täljaren, nämnaren och kvoten.

Fråga gärna om du behöver hjälp med detta.

Facit säger dock "För -1 <x<0 och x>1". Förstår inte varför x blir mindre än noll och sam

•

5. Rotfunktionen och ekvationer med rötter

I grundskolan har du tidigare bekantat dig med kvadratrötter. Nu är det dags att bilda funktioner av dem och börja analysera hur de beter sig.

Vi tar och ritar funktionen \( f(x)=\sqrt{x} \).

Exempel 1 För vilka värden på \( x \) gäller att \( \sqrt{x-2}=4 \)?

Lösning

Radikanden, det som är under rotteckent, är definierad då \( x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 \).

Vi tar och löser

\( \begin{array}{rcll} \sqrt{x-2} & = & 4 & \textrm{ genom att kvadrera.} \\ (\sqrt{x-2})^2 & = & 4^2 \\ x-2 & = & 16 \\ x & = & 18 \\ \end{array} \)

Eftersom \( 18 > 2 \) duger lösningen.

Exempel 2 Bestäm skärningspunkten för funktionerna \( f(x)=\sqrt{x+2} \) och \( g(x)=\sqrt{-x+6} \).

Lösning

Vi börjar med att undersöka när funktionerna är definierade.

\( f \) är definierad då \( x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 \) och \( g \) är definierad då \( -x+6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 6 \).

Sedan löser vi ekvationen \( f(x)=g(x) \):

\( \begin{array}{rcll} \sqrt{x+2} & = & \sqrt{-x+6} & \textrm{ Vi kvadrerar} \\ (\sqrt{x+2})^2 & = & (\sqrt{-x+6})^2 \\ x+2 & = & -x+6 \\ 2x & = & 4 \\ x & = & 2 \\ \end{array} \)

\( x=2 \) duger so

•

Uppgift 17

För andragradsfunktionen \(f\) gäller att \(f(x)=-0,5x^2+bx-2\)

a) Bestäm till vilka värden på \(b\) som \(f\) endast besitter ett nollställe.

I figuren nedan ser ni grafen mot funktionen \(f\) för några olika värden på \(b\). Grafernas maximipunkter är markerade. Då \(b\) varierar följer maximipunkterna grafen till ett nu andragradsfunktion \(g\), titta figur.

b) Bestäm andragradsfunktionen \(g\).

Lösningsförslag

a) För för att ta reda på nollställena till funktionen \(f\) använder vi oss av PQ-formeln:

$$0=-0,5x^2+bx-2 \implies 0=x^bx+4$$

Insättning i PQ-formeln ger:

$$\begin{align}x & = -\frac{-2b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2b}{2}\right)^} \\ & = b \pm \sqrt{b^} \end{align}$$

För för att funktionen endast ska äga ett nollställe så bör uttrycket beneath rotenur-tecknet (diskriminanten) vara lika med noll, alltså \(b^=0\). Detta ger:

$$b^=0 \implies b^2=4 \implies b= \pm 2$$

Svar: Om \(b=\pm2\) så äger funktionen endast ett nollställe.

b) För för att bestämma andragradsfunktionen \(g(x)\) bör vi utnyttja informationen oss fick fram i a) och detta faktum för att koordinaterna på grund av \(g\) existerar maximipunkterna på grund av funktionen \(f\) då \(b\) varierar.

Från a) uppgiften fick vi